Mutua Informazione
La coregistrazione, ossia il portare immagini multimodali nello stesso sistema di coordinate,
è un'area di ricerca che ha ricevuto molta attenzione a partire dagli anni ´90.
In questo periodo si è assistito all'emergere di vari metodi automatici
per la coregistrazione, i migliori
dei quali sono basati su paradigmi statistici che non assumono specifiche
dipendenze tra le immagini.
Fig.1 - Immagini mediche multimodali
In questo progetto abbiamo affrontato il problema della coregistrazione impiegando il metodo della massimizzazione della mutua informazione (MI), una misura statistica di cui è dimostrata l'accuratezza in molte applicazioni.
La mutua informazione venne utilizzata per la coregistrazione multimodale di immagini mediche per la prima volta nel 1995 (Paul Viola, William M. Wells III - Proceedings of the 5th International Conference of Computer Vision) e da allora è considerata il criterio migliore, come soluzione a questo problema, sia per la sua generalità che per la accuratezza e robustezza dell'algoritmo di calcolo.
Essa è parte dei concetti derivati dalla teoria dell'informazione assieme all'entropia, la misura della casualità di un fenomeno. L'uso della mutua informazione per la coregistrazione si basa sull'osservazione che minimizzando l'entropia tra le immagini analizzate se ne massimizza la dipendenza e pertanto anche il livello di sovrapposizione. La mutua informazione è infatti massima quando le due immagini sono allineate geometricamente.
Teoria della Mutua Informazione
Il metodo della MI per la coregistrazione immagini deriva dalla teoria dell'informazione, che non è altro che la trasposizione, nel formalismo matematico, di come i messaggi forniscano informazione. La parte centrale di questa teoria è l'entropia di Shannon, dove si prova che la capacità di un evento di portare informazione è inversamente dipendente rispetto alla probabilità che accada: il contenuto dell'informazione è il logaritmo dell'inverso della sua probabilità.
Questo contenuto di informazione pesato rispetto alla probabilità che l'evento accada e sommato rispetto a tutti gli eventi possibili fornisce l'entropia. Pertanto l'entropia associata ad un fenomeno A risulta essere:
L'entropia congiunta di due fenomeni A e B è:
La mutua informazione tra A e B è definita come la somma delle loro entropie singole meno la loro entropia congiunta.
Si osservi come questa quantità misuri se una coppia di valori (a,b) abbia un'occorrenza maggiore rispetto a quella che otterremmo con una scelta casuale.
Uso della MI nella coregistrazione di immagini
Gli "eventi" coinvolti nel caso di immagini sono semplicemente le occorrenze di particolari valori dei voxel.
Tenendo fissa l'immagine A, ricerchiamo la trasformazione geometrica che sovrappone l'immagine B ad A. L'ipotesi della mutua informazione stabilisce che si trova la trasformazione ottimale quando IAB è massima. La massimizzazione della MI è stata da noi implementata attraverso l'uso delle strategie evolutive, una particolare classe di algoritmi genetici.
Calcolo della MI tra due immagini
Vediamo ora come si calcola la MI a partire da due immagini volumetriche (voxmap). Ogni immagine è composta da un certo numero N di voxel, a ciascuno dei quali è associato un valore positivo che ne indica l'intensità. Per il calcolo della mutua informazione è necessario conoscere la distribuzione di probabilità con cui i valori dei voxel compaiono nella voxmap. Poiché i valori dei voxel, una volta fissate le immagini, sono determinati una volta per tutte, anche le probabilità sono fissate definitivamente.
Chiamiamo la prima immagine A e la seconda B e indichiamo le probabilità ad esse associate con pA e pB. La probabilità di ottenere un voxel con valore a dall'immagine A sarà dunque:
| pA(a)= | numero di voxel con valore a |
| numero totale dei voxel della voxmap A |
Analogamente si trova la legge di distribuzione di B.
Da notare che le distribuzioni non contengono informazioni riguardo a dove si trovano i valori a e b nelle voxmap, ma forniscono solo il numero delle occorrenze relative di tali valori.
Fig.2 - Istogramma congiunto
L'informazione spaziale richiesta da ogni metodo di coregistrazione riguarda la legge di probabilità congiunta che coinvolge simultaneamente le immagini volumetriche A e B e si ottiene calcolandone l'istogramma congiunto. Convenzionalmente essa si indica con pAB(a,b) e rappresenta la probabilità che nell'immagine A si abbia un voxel di valore a e, nella stessa posizione nell'immagine B, il voxel abbia valore b. Osserviamo che questa non è la probabilità che un voxel in A abbia valore a ed uno in B abbia valore b, che sarebbe semplicemente il prodotto pA(a)·pB(b). Il raffronto tra pAB(a,b) e pA(a)·pB(b) sta alla base del metodo della mutua informazione: più differiscono queste distribuzioni e maggiore sarà la mutua informazione tra le due voxmap A e B.
Con queste informazioni siamo ora in grado di procedere al calcolo della mutua informazione tra le due immagini analizzate.